一块冰块漂浮在水中，随着时间推移，它会逐渐融化成一个微小的冰粒，最终完全消失。在这个过程中，冰块表面变得越来越光滑，所有不规则形状和锐利边缘都会逐渐消失。
对于你我来说，这是一个很常见的现象，而数学家们同样致力于理解这一现象，不过是更深奥的角度 —— 他们希望能够精确描述冰块表面或一座被侵蚀的沙堡的形状如何随时间演变。
为了分析这种现象，此前的研究人员研究了抽象数学曲面和形状按照特定规则集的演化过程。这组规则定义了平均曲率流（Mean Curvature Flow）过程，它能同时平滑曲面（即使是高度不规则的曲面）并使其收缩。
然而，随着曲面演化，可能会形成奇点（singularities）—— 即数学描述失效的点。在这些位置，曲面可能会急剧突出，或变得极度薄弱以至于曲率「爆炸」至无穷大。对于任何闭合的紧致曲面（如封闭球面）在平均曲率流过程中必然会出现奇点。
当这些奇点过于复杂时，流动将无法继续进行。
数学家们希望确保即使在奇点形成后，仍能分析表面的持续演化。1995 年，现任职于苏黎世联邦理工学院（ETH）的数学家 Tom Ilmanen 提出了 Multiplicity-one 猜想 。该猜想指出，在平均曲率流过程中形成的任何奇点都必须相对简单。「不良」行为应仅限于个别点：例如，不应出现多个区域（无论来自同一表面还是不同表面）相互堆叠的情况。
如果 Multiplicity-one 猜想成立，将证实奇点并非平均曲率流的障碍。即使出现奇点，流动仍可继续，使数学家能够评估表面的演化。
近几十年来，数学家们在描述曲面通过平均曲率流移动时的行为特性方面取得了诸多进展。「但到目前为止取得的很多结果都依赖于 Multiplicity-one 猜想的正确性，」加州大学伯克利分校（UC Berkeley）的数学家 Richard Bamler 说到，「在某种程度上，主要的障碍一直都是 Multiplicity-one 猜想。」
现在，他和纽约大学（NYU）的 Bruce Kleiner 终于证明了这个猜想确实正确。
左为 Richard Bamler，右为 Bruce Kleiner。
「这是一个重大突破，」斯坦福大学（Stanford）的 Brian White 表示。这项工作不仅使数学家们能够更好地理解平均曲率流，而且可能在整个几何学和拓扑学领域有重要应用。
全速流动
平均曲率流概念在 20 世纪 50 年代被引入，用于解释金属冷却过程中出现的各种现象。1978 年，宾夕法尼亚州萨斯奎汉纳大学（Susquehanna University）的名誉教授 Kenneth Brakke 从数学角度形式化了这一概念。他的模型最终提供了一个更为通用的数学描述，可应用于任何维度的抽象曲面和形状。
Multiplicity-one 猜想涉及三维空间中的闭合二维曲面，如球体或环面（甜甜圈形状）。在这类曲面上的任意一点，可以计算给定方向上的曲率 —— 这是衡量曲面在该方向弯曲程度的指标。理论上可以考虑无限多的方向，但数学家们通常只关注那些给出最大和最小曲率值的方向。这两个数值的平均值被称为平均曲率（Mean Curvature），它能提供关于曲面在该点的许多重要信息。
平均曲率流利用曲面信息以最快速和高效的方式减小曲面面积。在这一过程中，曲面上的每个点都以等于其平均曲率的速度移动 —— 且方向垂直于其「切平面」（切平面是在该点最佳近似曲面的二维平面）。这种垂直方向有两个选择，一个指向内部，另一个指向外部。如果曲面在该点向外凸出，则流动方向向内；如果曲面向内弯曲，则流动方向向外。
以球体为例，平均曲率流会使球体以越来越快的速率向其中心收缩。这是因为随着球体收缩，每个点的平均曲率会增大 —— 较小的球体比较大的球体弯曲程度更大。最终，球体会收缩为一个点，即球体中心原来所在的位置。
假设曲面是一个部分凹陷的球体，类似于某些地方被撞凹的足球。在平均曲率流的作用下，凹陷部分会被推出，而曲面其余部分则向内移动，使其逐渐接近完美球体，最终收缩为一点。
这一过程同样能将圆柱体简化为一条线，将环面（torus）简化为一个圆。然而，对于更复杂的形状，如中心处变窄的哑铃形状，会发生不同情况。在平均曲率流作用下，手柄最细部分会首先收缩为一点，形成奇点（singularity）。这种奇点类似于肥皂泡从塑料棒上分离或水滴从水龙头分离时的「收缩点」。在该点，哑铃表面失去光滑性，曲率变为无限大。
这时问题出现了：无法将无穷大代入平均曲率流方程中。方程失效，无法再预测曲面的未来演化。但若移除该奇点，我们将得到两个独立的泪滴状部分，从而可以继续研究平均曲率流对这些部分的影响。这些部分会逐渐变得更加光滑圆润，几乎成为完美球体，最终收缩为两个分离的点。
对于任何闭合的紧致曲面 —— 即直径有限且有明确内外之分的曲面 —— 平均曲率流必然导致奇点形成。（对于简单球体，这个奇点就是曲面最终收缩至的那一点。）Bamler 表示：「这个本应使曲面变得更简单的流，随着过程进行到极限，我们知道它总会变得奇异，所以如果我们想理解这个流的作用，就需要理解它的奇点形成过程。」
这正是 Multiplicity-one 猜想的用武之地。
分离是成功的关键
简单的奇点（如夹点）可以直接去除，使平均曲率流畅通无阻。但如果奇点比较复杂，比如表面中的两块薄片聚集在一起，在整个区域内重叠，而不是只影响一个点，那么就不可能做到这一点。Bamler 表示，在这种情况下，「我们不知道流动是如何表现的」。
Ilmanen 提出了他的猜想，以排除这些麻烦的情况。几十年后，Bamler 和 Kleiner 开始证明他是正确的。
为此，他们想象了一种不寻常的形状，Kleiner 称之为「邪恶的双胞球」。它由两个球体组成，一个在另一个里面，由一个小圆柱体或颈部连接，形成一个单一的表面。Kleiner 指出，如果颈部快速收缩，将两个球形区域拉到一起，那将是「噩梦般的情景」。为了排除这种情况，他和 Bamler 希望了解这两个区域将如何相互作用，以及它们之间的距离将如何随时间变化。
于是，两位数学家将形状分解成不同的构件 —— 放大后看起来像平行薄片的区域，以及被称为最小曲面（平均曲率为零，因此在平均曲率流中不会移动）的特殊区域。然后，他们定义了一个函数，用于测量曲面上任意给定点到邻近区域最近点的距离。
他们找到了分析这个「分离函数」如何随时间变化的方法，证明它永远不会归零。这意味着噩梦般的情景永远不会发生。
数学家们可以轻而易举地将这种方法应用到包含相同类型构件的封闭表面上。但是，「一般的 [封闭] 曲面在某些区域可能看起来非常复杂，」Bamler 说，复杂到「可能使我们无法控制流动」。
他和 Kleiner 随后证明，这些有问题的区域必须非常小。Bamler 表示，「它对整个流动的影响微乎其微。因此，我们基本上可以忽略它。」
无论曲面多么复杂或奇特，分离函数都不会随着时间的推移而归零。换句话说，相邻区域永远不会趋同，也不会出现复杂的奇点。Ilmanen 的猜想是正确的。
事实上，Bamler 和 Kleiner 证明，平均曲率流几乎总是导致两种类型之一的特别简单的奇点：收缩为一点的球体，或坍缩为一条直线的圆柱体。Bamler 说：「任何其他类型的奇点都只出现在极少数非常特殊的情况下。在这些情况下，奇点非常不稳定，即使是最轻微的扰动也会消除它们。」
随着 Multiplicity One 猜想的解决，斯坦福大学的 Otis Chodosh 说：「我们现在基本上对三维空间中表面的平均曲率流有了一个完整的认识。」
他还补充说，这些知识可能会在几何学和拓扑学中得到重要应用，特别是如果数学家能够证明生活在四维空间中的三维表面的猜想。Bamler 和 Kleiner 正开始研究下一种情况，不过他们表示需要找到一种与二维表面不同的方法。
Chodosh 补充说，这个证明已经可以让数学家利用平均曲率流重新证明一个关于球体对称性的重要问题，即「斯梅尔猜想」。Bamler 说，以前对该猜想的证明相当复杂，使用平均曲率流的证明可能更容易理解。
一个被称为里奇流（Ricci flow）的相关过程已经被用来证明一些重要猜想，包括著名的庞加莱猜想（另一个关于球体的声明）。数学家们希望，Bamler 和 Kleiner 在均值曲率流方面的工作将帮助它成为一种类似的强大方法。White 说：「Bamler 和 Kleiner 让我们对均值曲率流核心奇点的理解有了巨大的进步。这无疑为我们提供了将其作为一种工具…… 来做各种奇妙事情的可能性。」
原文链接：https://www.quantamagazine.org/a-new-proof-smooths-out-the-math-of-melting-20250331/
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